Question

已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=

[x]

x

-a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（　　）

• A、[

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]∪[

  4

  3

  ，

  3

  2

  ]
• B、（

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]∪[

  4

  3

  ，

  3

  2

  ）
• C、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]∪[

  5

  4

  ，

  3

  2

  ）
• D、[

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]∪[

  5

  4

  ，

  3

  2

  ]

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=

[x]

x

-a=0，故

[x]

x

=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0，从而得到答案．

解答： 解：因为f（x）=

[x]

x

-a=0，故

[x]

x

=a；
分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．
若x＞0，此时[x]≥0；
若[x]=0，则

[x]

x

=0；
若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故

[x]

[x]+1

＜

[x]

x

≤1，即

[x]

[x]+1

＜a≤1．
且

[x]

[x]+1

随着[x]的增大而增大．
若x＜0，此时[x]＜0；
若-1≤x＜0，则

[x]

x

≥1；
若x＜-1，因为[x]≤x＜-1；[x]≤x＜[x]+1，故1≤

[x]

x

＜

[x]

[x]+1

，即1≤a＜

[x]

[x]+1

，
且

[x]

[x]+1

随着[x]的减小而增大．
又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．
所以为使函数f（x）=

[x]

x

-a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3．
若[x]=1，有

1

2

＜a≤1；
若[x]=2，有

2

3

＜a≤1；
若[x]=3，有

3

4

＜a≤1；
若[x]=4，有

4

5

＜a≤1；
若[x]=-1，有a＞1；
若[x]=-2，有1≤a＜2；
若[x]=-3，有1≤a＜

3

2

；
若[x]=-4，有1≤a＜

4

3

综上所述，

3

4

＜a≤

4

5

或

4

3

≤a＜

3

2

，
故选：B．

点评：本题考查了函数的零点问题，考查了分类讨论思想，考查了新定义问题，是一道中档题．