Question

已知函数y=f（x）同时满足下列条件：
（1）y=f（x）是二次函数；
（2）f（-2014）=f（2022）；
（3）函数g（x）=f（x）+x²+4x+5是R上的单调函数．
则满足上述要求的函数f（x）可以是

 

．（写出一个即可）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由条件（2）可得函数对称轴为x=4，由条件（3）可得函数的二次项系数为-1，进而可得答案．

解答： 解：∵y=f（x）是二次函数，
∴可设f（x）=ax²+bx+c，
又∵f（-2014）=f（2022），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=4对称，
即-

b

2a

=4，…①
又∵函数g（x）=f（x）+x²+4x+5是R上的单调函数，
故a=-1，
∴b=8
∴f（x）=-x²+8x+c（c∈R）（填写其中一种情况即可）．
故答案为：f（x）=-x²+8x+c（c∈R）（填写其中一种情况即可）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知分析出函数的对称轴，二次项系数是解答的关键．