Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+a与圆x²+y²=9交于A、B两点．
（1）求证：若a=2

6

，则

OA

•

OB

=

3

5

是真命题；
（2）写出（1）中的逆命题，并判断其真假．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线y=-2x+2

6

代入圆x²+y²=9，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论；
（2）逆命题：若

OA

•

OB

=

3

5

，则a=2

6

，为假命题，与（1）同法，可得

a2-9

5

+

a2-36

5

=

3

5

．

解答： （1）证明：直线y=-2x+2

6

代入圆x²+y²=9，整理可得5x²-8

6

x+15=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8 6

5

，x₁x₂=3，
∴y₁y₂=（-2x₁+2

6

）（-2x₂+2

6

）=4x₁x₂-4

6

（x₁+x₂）+24=-

12

5

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=3-

12

5

=

3

5

；
（2）解：逆命题：若

OA

•

OB

=

3

5

，则a=2

6

，为假命题．
直线y=-2x+a代入圆x²+y²=9，整理可得5x²-4ax+a²-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4a

5

，x₁x₂=

a2-9

5

，
∴y₁y₂=（-2x₁+a）（-2x₂+a）=4x₁x₂-2a（x₁+x₂）+a²=

a2-36

5

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

a2-9

5

+

a2-36

5

=

3

5

，
∴a=±2

6

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．