Question

如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=

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2

，则下列结论中错误的是（　　）

• A、AC⊥BE
• B、EF∥平面ABCD
• C、三棱锥A-BEF的体积为定值
• D、异面直线AE，BF所成角为定值

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：由正方体的几何特征结合线面垂直的判定证得AC⊥面BB′D′D，从而得到AC⊥BE；
由线面平行的判定证明EF∥平面ABCD；
三棱锥A-BEF的底面三角形BEF的面积为定值，高AO为定值，从而得到三棱锥A-BEF的体积为定值．
排除前三项后可得答案为D．

解答： 解：如图，

∵AC′是正方体，
∴底面ABCD为正方形，连结AC，则AC⊥BD，
又BB′⊥底面ABCD，
∴BB′⊥AC，
BB′∩BD=B，
∴AC⊥面BB′D′D，
∴AC⊥BE．选项A正确；
∵EF∥BD，BD?面ABCD，EF?面ABCD，
∴EF∥面ABCD．选项B正确；
∵△BEF的底EF=

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2

，高为BB′=1，
∴S_△BEF为定值．
又三棱锥A-BEF的高为AO为定值，
∴三棱锥A-BEF的体积为定值．选项C正确；
∴不正确的选项为D．
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间点、线、面的位置关系，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．