Question

已知ω是正实数，函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[0，a]内有且仅有2个零点，求正实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用辅助角公式将函数进行化简，利用周期公式即可求ω的值；
（Ⅱ）求出函数函数y=f（x）第2个和第3个零点，结合函数在区间[0，a]内有且仅有2个零点，即可求正实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）=4cosωx•[

2

2

（sinωx+cosωx）
=2

2

sinωxcosωx+2

2

cos²ωx=

2

（sin2ωx+1+cos2ωx）=2sin（2ωx+

π

4

）+

2

，
∵函数f（x）的最小正周期是π．
∴T=

2π

2ω

=π，即ω=1；
（Ⅱ）当ω=1时，f（x）=2sin（2x+

π

4

）+

2

，
当x=0时，f（0）=2

2

，
由f（x）=2sin（2x+

π

4

）+

2

=0，
即sin（2x+

π

4

）=-

2

2

，
当x＞0时，2x+

π

4

=

5π

4

，2x+

π

4

=

7π

4

，2x+

π

4

=

5π

4

+2π，…，
则x=

π

2

，或x=

3π

4

，或x=

3π

2

，
若函数y=f（x）在区间[0，a]内有且仅有2个零点，
则

3π

4

≤a＜

3π

2

，
求正实数a的取值范围是[

3π

4

，

3π

2

）．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力．