题目内容
已知三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=4，AB=AD=2
，则三棱锥A-BCD的外接球的大圆面积为（ ）
| 3 |
| A、36π | B、27π |
| C、12π | D、9π |
考点：球的体积和表面积
专题：空间位置关系与距离,球
分析：利用已知三棱锥A-BCD的特点AB=AC=AD，先确定△ABD的外心O，及外接圆的半径，然后证明O也是三棱锥A-BCD的外接球的球心，即可解答．
解答：
解：∵如图取CD的中点E，连接AE，CE．
则AE⊥BD，CE⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AE⊥平面BCD，
又∵CE?平面BCD，
∴AE⊥CE．
设△ABD的外接圆的圆心为O，半径为r．
∵AB=AD，
∴圆心O在AE所在的直线上．
∴r2=BE2+OE2=BE2+（r-AE）2．
∵在Rt△BCD中，
BD=
=
=4
．
∴BE=EC=2
．
∴在Rt△ABE中，AE=
=
=2．
∴r2=8+（r-2）2，解得r=3．
∴OE=1．
在Rt△OEC中，OC=
=
=3．
∴OA=OB=OC=OD=3．
∴点O是三棱锥A-BCD的外接球的球心，且半径为3．
∴大圆面积S=πr2=9π．
故选D．
解：∵如图取CD的中点E，连接AE，CE．则AE⊥BD，CE⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AE⊥平面BCD，
又∵CE?平面BCD，
∴AE⊥CE．
设△ABD的外接圆的圆心为O，半径为r．
∵AB=AD，
∴圆心O在AE所在的直线上．
∴r2=BE2+OE2=BE2+（r-AE）2．
∵在Rt△BCD中，
BD=
| BC2+CD2 |
| 42+42 |
| 2 |
∴BE=EC=2
| 2 |
∴在Rt△ABE中，AE=
| AB2-BE2 |
(2
|
∴r2=8+（r-2）2，解得r=3．
∴OE=1．
在Rt△OEC中，OC=
| OE2+EC2 |
| 1+8 |
∴OA=OB=OC=OD=3．
∴点O是三棱锥A-BCD的外接球的球心，且半径为3．
∴大圆面积S=πr2=9π．
故选D．
点评：本题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于难题．
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