Question

如图，等边三角形OAB的边长为8

3

，且其三个顶点均在抛物线C：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设圆M过D（0，2），且圆心M在抛物线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知B（4

3

，12）在抛物线C：x²=2py（p＞0）上，由此能求出抛物线C的方程．
（2）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，令y=0得：x²-2ax+4b-4=0设圆与x轴的两交点分别为（x₁，0），（x₂，0），不妨设x₁＞x₂，由此推导出当M运动时，弦长|EG|为定值4．

解答： 解：（1）由题意知B（4

3

，12），
且B在抛物线C：x²=2py（p＞0）上，
∴48=24p，解得p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y．
（2）设圆的圆心M（a，b），∵圆M过D（0，2），
∴圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0
设圆与x轴的两交点分别为（x₁，0），（x₂，0）
不妨设x₁＞x₂，
由求根公式得x1=

2a+ 4a2-16b+16

2

，
x2=

2a- 4a2-16b+16

2

…（9分）
∴x1-x2=

4a2-16b+16

又∵点M（a，b）在抛物线x²=4y上，∴a²=4b，…（10分）
∴x1-x2=

16

=4，即|EG|=4，（13分）
∴当M运动时，弦长|EG|为定值4．

点评：本题考查抛物线方程的求法，探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．