Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

，
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）在a＞0的情况下，若曲线y=f（x）上两点A，B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导函数，求出相应方程的根，因为二次项的系数为a，要分a＞0，和a＜0进行讨论．
（2）由曲线y=f（x）上两点A，B处的切线都与y轴垂直，即与x轴平行，A、B为函数的两极值点，又线段AB与x轴有公共点，及两极值应该异号（或其中一个为0）．

解答： 解：（1）由a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-

2

a

)
令f'（x）=0得x1=0，x2=

2

a

．
（i）当a＞0时，
若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，所以f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
若x∈(0，

2

a

)，则f'（x）＜0，所以f（x）在区间(0，

2

a

)上是减函数；
若x∈(

2

a

，+∞)，则f'（x）＞0，所以f（x）在区间(

2

a

，+∞)上是增函数；
（i i）当a＜0时，
若x∈(-∞，

2

a

)，则f'（x）＜0，所以f（x）在区间(-∞，

2

a

)上是减函数；
若x∈(

2

a

，0)，则f'（x）＞0，所以f（x）在区间(

2

a

，0)上是增函数；
若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
（2）由（1）中（i）的讨论及题设知，
曲线y=f（x）上的两点A，B的纵坐标为函数的极值，且函数y=f（x）在x=0，x=

2

a

处分别是取得极大值和极小值
f(0)=1-

3

a

，f(

2

a

)=-

4

a2

-

3

a

+1．
因为线段AB与x轴有公共点，所以

f(0)≥0 f( 2 a )≤0

并且两等号不能同时成立
即

(1- 3 a )≥0 (- 4 a2 - 3 a +1)≤0

并且两等号不能同时成立，
由已知a＞0故

a≥3 0＜a≤4

．
解得　3≤a≤4．
即所求实数a的取值范围是[3，4]．

点评：本题考查了函数的导数，单调性，极值，零点等知识．是一道导数的综合题．属于中档题．