Question

已知不共线向量

a

，

b

满足|

a

|=2|

b

|，且关于x的函数f（x）=-2x³+3|

a

|x²+6

a

•

b

x+5在实数集R上是单调递减函数，则向量

a

，

b

的夹角的取值范围是（　　）

• A、（0，

  π

  6

  ]
• B、（0，

  π

  3

  ]
• C、[

  2π

  3

  ，π）
• D、[

  2π

  3

  ，π]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：根据题意，得f′（x）=-6x²+6|

a

|x++6

a

•

b

≤0在R上恒成立，由此建立关于|

a

|和

a

•

b

的不等式，再结合已知条件和向量数量积的公式，得向量cosθ≤-

1

2

．

解答： 解：设向量

a

，

b

的夹角为θ，
∵函数f（x）=-2x³+3|

a

|x²+6

a

•

b

x+5在实数集R上是单调递减
∴f′（x）=-6x²+6|

a

|x++6

a

•

b

≤0在R上恒成立，
△≤0，即得6|

a

|²4×6×6

a

•

b

≤0，
解之得-

1

4

|

a

|²≥

a

•

b

∵向量

a

，

b

满足|

a

|=2|

b

|，

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ≤-

1

4

a

2，
∴cosθ≤-

1

2

，
∵θ∈[0，π]，∴向量

a

，

b

夹角为θ∈[

2π

3

，π]．
故选：D．

点评：本题以一个三次多项式函数的单调性讨论为载体，考查了平面向量数量积运算和二次不等式恒成立等知识．如果函数在某个区间单调递减，则它的导数在此区间小于或者等于0恒成立．