Question

已知抛物线P：y²=2x，直线l与抛物线P交于两点M、N，若

OM

•

ON

=-1恒成立，则直线l必经过点

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线MN方程为：x=my+a，与抛物线方程y²=2x联立得：y²=2my+2a，利用韦达定理与

OM

•

ON

=-1，可得a²-2a+1=0，于是可求得a=1，从而可知答案．

解答： 解：设直线MN方程为：x=my+a，
与抛物线方程y²=2x联立得：y²=2my+2a，
即y²-2my-2a=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y₁+y₂=2m，y₁•y₂=-2a，
∵

OM

•

ON

=-1，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=-1；
又x₁•x₂=（my₁+a）（my₂+a）
=m²y₁•y₂+ma（y₁+y₂）+a²
=m²（-2a）+ma×2m+a²
=a²，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=-1?a²-2a+1=0，
解得a=1；
由直线方程x=my+1得MN恒过定点（1，0），
故答案为：（1，0）．

点评：本题考查抛物线的简单性质，着重考查直线与抛物线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．