Question

设A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x²，x∈A}，且B∩C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合关系中的参数取值问题

专题：集合

分析：首先，对a进行分类讨论，分为a＜-2，-2≤a＜0，0≤a＜2和a≥2四种情形，然后，结合集合B、C中元素构成和B∩C=C，进行求解．

解答： 解：当a＜-2时，A为空集，满足题意．
当a≥-2时，A不是空集
∵B∩C=C⇒C⊆B，
∴B={y|y=2x+3，x∈A}={y|-1≤y≤2a+3}．
①当a≥2时，
C={z|z=x²，x∈A}={z|0≤z≤a²}．
由C⊆B⇒a²≤2a+3，即-1≤a≤3．
而a≥2，∴2≤a≤3．
②当0≤a＜2时，
C={z|z=x²，x∈A}={z|0≤z≤4}．
由C⊆B⇒4≤2a+3，即a≥

1

2

．
又0≤a＜2，∴

1

2

≤a＜2．
③当-2≤a＜0时，
C={z|z=x²，x∈A}={z|a²＜z≤4}．
由C⊆B⇒4≤2a+3，即a≥

1

2

，这与-2≤a＜0矛盾，此时无解．
综上有a的取值范围为{a|a＜-2 或

1

2

≤a≤3}．
∴a∈（-∞，-2）∪[

1

2

，3]，
故答案为（-∞，-2）∪[

1

2

，3]．

点评：本题重点考查集合间的基本关系，掌握一次函数和二次函数的值域的求解方法，考查不等式的解法、分类讨论思想等综合性问题，属于中档题．