Question

若x＞0，则

1

1+2x

+

x

2+x

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．

解答： 解：令f（x）=

1

1+2x

+

x

2+x

（x＞0），
则f′(x)=

-2

(1+2x)2

+

2

(2+x)2

=

6(x+1)(x-1)

(1+2x)2(2+x)2

，又x＞0．
令f′（x）=0，解得x=1．
令f′（x）＞0，解得x＞1；
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．
∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=

1

3

+

1

3

=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，属于基础题．