Question

已知在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是

x=1+t y= 3 t

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ-ρ²sin²θ+2ρsinθ-2=0，求直线l的极坐标方程，若直线与曲线相交于A、B，求|AB|．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：首先，根据直线的参数方程，化为普通方程，然后，将普通方程化为极坐标方程，然后，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后联立方程组，并结合弦长公式进行求解．

解答： 解：∵直线l的参数方程是

x=1+t y= 3 t

（t为参数），
∴直线的普通方程为：

3

x-y-

3

=0，
斜率为k=

3

，
∴直线l的极坐标方程

3

ρcosθ-ρsinθ-

3

=0，
根据曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ-ρ²sin²θ+2ρsinθ-2=0，
得x²-y²+2y-2=0，
联立方程组

x2-y2+2y-2=0 y= 3 (x-1)

，
整理得2x2-(6+2

3

)x+2

3

+5=0，
∴x₁+x₂=3+

3

，
x₁•x₂=

1

2

(2

3

+5)，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=2

2 3 +2

．

点评：本题重点考查了直线的参数方程和普通方程、极坐标方程、双曲线的极坐标方程等知识，属于中档题．