Question

已知曲线C：f（x）=x³-ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（　　）

• A、

  27

  8

• B、-2
• C、2
• D、-

  27

  8

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，设出切点坐标，由点斜式得到切线方程，再由点A在且线上得到关于切点横坐标的方程，求得两切点，再由两切点处的导数互为相反数求得a的值．

解答： 解：由f（x）=x³-ax+a，得f′（x）=3x²-a，
设切点为(x0，x03-ax0+a)，
∴f′(x0)=3x02-a，
∴过切点的切线方程为y-x03+ax0-a=(3x02-a)(x-x0)，
∵切线过点A（1，0），
∴-x03+ax0-a=(3x02-a)(1-x0)，
解得：x₀=0或x0=

3

2

．
∴f′（0）=-a，f′(

3

2

)=

27

4

-a，
由两切线倾斜角互补，得
-a=a-

27

4

，
∴a=

27

8

．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是注意给出的点是否为切点，是中档题．