Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+mx，x＜0}\end{array}\right.$是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[a，a+$\frac{3}{2}$]上单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，求出函数的解析式，即可得出m的值；
（2）分类讨论，可得不等式，解不等式，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-x²-2x，
∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=x²+2x，
∴m=2；
（2）f（x）在[a，a+$\frac{3}{2}$]上单调递增，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a+\frac{3}{2}≤1}\end{array}\right.$，∴-1≤a≤-$\frac{1}{2}$；
f（x）在[a，a+$\frac{3}{2}$]上单调递减，∴a+$\frac{3}{2}$≤-1或a≥1，∴a≤$\frac{5}{2}$或a≥1
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{5}{2}$]∪[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的性质，考查函数单调性，考查分类讨论的数学思想，确定函数的解析式是关键．