Question

13．已知函数f（x）=（x²-ax-a）e^x，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，令g（x）=x²+（2-a）x-2a，通过讨论a的范围，求出g（x）的符号，从而求出函数的单调区间即可．

解答 解：f′（x）=[x²+（2-a）x-2a]e^x，
令g（x）=x²+（2-a）x-2a，
△=（2-a）²+8a=（a+2）²≥0，
a=-2时，g（x）=x²+4x+4≥0，
即f′（x）≥0，f（x）在R递增，
a≠-2时，对于g（x），
△＞0，g（x）有2个不相等的实根，
令g（x）=0，解得：x=-2或x=a，
a＞-2时，令g′（x）＞0，解得：x＞a或x＜-2，令g（x）＜0，解得：-2＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，a）递减，在（a，+∞）递增，
a＜-2时，令g′（x）＞0，解得：x＞-2或x＜a，令g（x）＜0，解得：a＜x＜-2，
∴f（x）在（-∞，a）递增，在（a，-2）递减，在（-2，+∞）递增，
综上，a=-2时，f（x）在R递增，
a＞-2时，f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，a）递减，在（a，+∞）递增，
a＜-2时，f（x）在（-∞，a）递增，在（a，-2）递减，在（-2，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．