Question

20．如图所示，要围建一个面积为400m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为3m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/m，新墙的造价为200元/m，设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地的总费用为y（单位：元）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）试确定x的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用．

Answer 1

分析 （1）由题意由题意知，矩形的一边长为xm，另一边长为$\frac{400}{x}$m，根据旧墙的维修费用为56元/m，新墙的造价为200元/m，从而得出y关于x的函数表达式；（2）因为x＞0，所以运用基本不等式求出最小值，利用基本不等式等号成立的条件得出此时x的值．

解答 解：（1）由题意知，矩形的一边长为xm，另一边长为$\frac{400}{x}$m，
则y=56x+200（x-3）+200×$\frac{400}{x}$×2
=256x+$\frac{160000}{x}$-600（x＞0）．
故y=256x+$\frac{160000}{x}$-600（x＞0）．
（2）因为x＞0，所以256x+$\frac{160000}{x}$≥2$\sqrt{256×40{0}^{2}}$=12800，
所以y=256x+$\frac{160000}{x}$-600≥12200，
当且仅当256x=$\frac{160000}{x}$，即x=25时，等号成立．
故当利用旧墙的长度为25m时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元．

点评 本题考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意满足的条件：一正二定三等，考查了运算能力，属于中档题．