题目内容
证明：函数f（x）=-x2+4x在（-∞，2]上为增函数．
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：根据函数的定义法即可证明函数f（x）=-x2+4x在（-∞，2]上是增函数，
解答：
证明：任取x1，x2∈（-∞，2]且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=-x12+4x1+x22-4x2=（x1+x2）（x2-x1）-4（x2-x1）=（x2-x1）（x1+x2-4）．
∵x1＜x2≤2，
∴x1-x2＜0，x1+x2-4＜0，
∴（x2-x1）（x1+x2-4）＜0
则f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=-x2+4x在（-∞，2]上为增函数．
则f（x1）-f（x2）=-x12+4x1+x22-4x2=（x1+x2）（x2-x1）-4（x2-x1）=（x2-x1）（x1+x2-4）．
∵x1＜x2≤2，
∴x1-x2＜0，x1+x2-4＜0，
∴（x2-x1）（x1+x2-4）＜0
则f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=-x2+4x在（-∞，2]上为增函数．
点评：本题主要考查函数单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．
练习册系列答案
口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案
相关题目
已知a＞0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是（ ）
| A、y=logax与y=（logxa）-1 |
| B、y=alogax与y=x |
| C、y=2x与y=logaa2x |
| D、y=logax2与y=2logax |