Question

已知k＞0，求函数y=sin²x+k（cosx-1）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由同角的平方关系将函数转化为余弦的式子，令cosx=t（-1≤t≤1），则y=-t²+kt+1-k，再配方，讨论当0＜

k

2

≤1时，当

k

2

＞1时，函数的最小值，注意区间与对称轴的关系，即可得到．

解答： 解：函数y=sin²x+k（cosx-1）
=-cos²x+kcosx+1-k，
令cosx=t（-1≤t≤1），
则y=-t²+kt+1-k
=-（t-

k

2

）²+

k2

4

-k+1．
由于k＞0，
则当0＜

k

2

≤1时，即0＜k≤2，当x=-1时，y=-2k＜0，
当x=1时，y=0，
则最小值为-2k；
当

k

2

＞1即k＞2时，区间[-1，1]是增区间，
则当x=-1时，取得最小值-2k．
综上，当k＞0时，函数的最小值为-2k．

点评：本题考查三角函数的化简和求最值，考查运用换元法，转化为二次函数的最值问题，讨论对称轴与区间的关系，属于中档题．