Question

（1）已知f（x）=

2x-1

+

1

1-x

+（x-2）⁰，求f（x）的定义域．
（2）已知f（3x-1）的定义域为（1，2]，求f（x-1）的定义域．
（3）已知f（x）=

3x-1

2x+1

，求f（x）的值域．
（4）已知f（x）=2x-

1-x

，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，0指数幂的底数不等于0联立不等式组得答案；
（2）由f（3x-1）的定义域求得f（x）的定义域，进一步求f（x-1）的定义域；
（3）把已知的函数变形为f（x）=

3x-1

2x+1

=

3 2 (2x+1)- 5 2

2x+1

=

3

2

-

5

2(2x+1)

，则函数的值域可求；
（4）利用换元法化为二次函数后求解函数的值域．

解答： 解：（1）由

2x-1≥0 1-x≠0 x-2≠0

，解得x＞

1

2

且x≠1，x≠2．
∴f（x）的定义域为{x|x＞

1

2

且x≠1，x≠2}；
（2）∵f（3x-1）的定义域为（1，2]，即1＜x≤2，
∴2＜3x-1≤5，函数f（x）的定义域为（2，5]，
再由2＜x-1≤5，得3＜x≤6．
∴f（x-1）的定义域为（3，6]；
（3）f（x）=

3x-1

2x+1

=

3 2 (2x+1)- 5 2

2x+1

=

3

2

-

5

2(2x+1)

，
∴f（x）的值域为{y|y≠

3

2

}；
（4）令

1-x

=t（t≥0），
∴x=1-t²，
则y=f（x）=2x-

1-x

=-2t²-t+2，
函数y=-2t²-t+2的对称轴方程为t=-

1

4

．
函数在[0，+∞）上为减函数，当t=0时函数由最大值2．
∴f（x）的值域为（-∞，2]．

点评：本题考查了函数的定义域及其值域的求法，考查了换元法求函数的值域，是中档题．