Question

已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求证：

1

xy

≥8．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：证明题

分析：先把要证的式子等价转化为xy≤

1

8

，再由条件x+2y=1利用基本不等式证明

解答： 证明：由于x＞0，y＞0，则

1

xy

≥8?xy≤

1

8

，下面证明xy≤

1

8

：
由基本不等式知1=x+2y≥2

x•2y

=2

2xy

，
当且仅当x=2y时上述等号成立，又x+2y=1，
∴x=

1

2

、y=

1

4

时上述等号成立
∴2

2xy

≤1成立
两边平方得，8xy≤1，
∴xy≤

1

8

，命题得证．

点评：利用等价转化的数学思想，把要证的命题转化成证明较简单的问题．其次，利用基本不等式解题时，不要忘了验证“=”成立的条件．