Question

已知A、B、C为△ABC的三内角，向量

a

=（2cos

A-B

2

，3sin

A+B

2

），且|

a

|=

26

2

，则tanC的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用向量模的计算公式、两角和差的余弦公式与正切公式、倍角公式、基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵向量

a

=（2cos

A-B

2

，3sin

A+B

2

），且|

a

|=

26

2

，
∴

4cos2 A-B 2 +9sin2 A+B 2

=

26

2

，
化为4cos（A-B）=9cos（A+B），
展开为4（cosAcosB+sinAsinB）=9（cosAcosB-sinAsinB），
化为4+4tanAtanB=9-9tanAtanB．
∴tanAtanB=

5

13

．（tanA，tanB＞0）．
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

≤-

2 tanAatnB

1-tanAtanB

=-

65

4

．当且仅当tanA=tanB=

65

13

．
故答案为：-

65

4

．

点评：本题考查了向量模的计算公式、两角和差的余弦公式与正切公式、倍角公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．