Question

已知f（x）=-x²+ax-

a

4

+

1

2

，x∈[0，1]，
（1）求f （x）的最大值g（a）；
（2）求g（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先对二次函数f（x）配方得：f（x）=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

，所以f（x）的对称轴是x=

a

2

，所以讨论对称轴和区间[0，1]的关系，根据f（x）在[0，1]上单调性及函数f（x）顶点即可得到f（x）的最大值g（a）=

-a+2 4 a≤0 a2-a+2 4 0＜a＜2 3a-2 4 a≥2

；
（2）由（1）知g（a）是关于a的分段函数，所以根据一次函数、二次函数的最小值求出g（a）在每段上的最小值，然后最后取最小的便是g（a）的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

；
∴①若

a

2

≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]上单调递减；
∴g（a）=f（0）=

-a+2

4

；
②若0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2，则：g（a）=f（

a

2

）=

a2-a+2

4

；
③若

a

2

≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增；
∴g（a）=f（1）=

3a-2

4

；
∴g(a)=

-a+2 4 a≤0 a2-a+2 4 0＜a＜2 3a-2 4 a≥2

；
（2）a≤0时，

-a+2

4

在a=0时取最小值

1

2

；
0＜a＜2时，

a2-a+2

4

=

(a- 1 2 )2+ 7 4

4

在a

1

2

时取最小值

7

16

；
a≥2时，

3a-2

4

在a=2时取最小值1；
综上得g（a）的最小值为

7

16

．

点评：考查求二次函数在闭区间上最值的方法，以及求分段函数最值的方法：在每段上求最值，然后进行比较而得出分段函数的最值，以及根据一次函数的单调性求最小值．