Question

已知△ABC的周长为36，B、C的坐标分别为（-8，0）和（8，0）．
（1）求顶点A的轨迹方程；
（2）若∠BAC=90°，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由三角形的边角关系结合椭圆的定义求解；
（2）由椭圆定义结合三角形中的勾股定理求得|AB|•|AC|，则三角形的面积可求．

解答： 解：（1）由题意知，|AB|+|AC|+|BC|=36，|BC|=16，
∴|AB|+|AC|=20＞16，
则顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=20，a=10，c=8．
∴b²=a²-c²=36．
∴顶点A的轨迹方程为：

x2

100

+

y2

36

=1(x≠±10)；
（2）∵|AB|+|AC|=20，|BC|=16，
且∠BAC=90°，
∴|AB|²+|AC|²=（|AB|+|AC|）²-2|AB|•|AC|=|BC|²，
即20²-16²=2|AB|•|AC|，
∴|AB|•|AC|=72．
则△ABC的面积S=

1

2

×72=36．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，涉及椭圆上的点与焦点连线构成的三角形问题，常用椭圆定义、余弦定理结合求解，是压轴题．