Question

已知集合A={x|x²+ax+b=x}={a}，幂函数f（x）经过点（a，b），
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）求不等式f（x）≤x的解集．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数的零点

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由已知可知a为方程x²+（a-1）x+b=0的两相等实数根，把a代入方程，结合一元二次方程的判别式等于0求得a，b的值，则集合A可求；
（Ⅱ）由幂函数图象过点（a，b）求得幂函数解析式，然后求解一元二次不等式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由A={x|x²+ax+b=x}={a}，
可知a为方程x²+（a-1）x+b=0的两相等实数根，
则a²+a（a-1）+b=0，
且（a-1）²-4b=0，联立解得：a=

1

3

，b=

1

9

．
∴A={

1

3

}；
（Ⅱ）设幂函数f（x）=x^α，
∵幂函数f（x）经过点（

1

3

，

1

9

），
∴

1

9

=(

1

3

)α，解得：α=2．
∴f（x）=x²．
由不等式f（x）≤x，得x²≤x，解得：0≤x≤1．
∴不等式f（x）≤x的解集为[0，1]．

点评：本题考查了一元二次方程的解法，考查了幂函数和二次函数的性质，是基础题．