Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=4代入f（x），利用基本不等式求出最值，（2）将恒成立问题转化为最值问题求解，

解答： 解：（1）当a=4时，
f（x）=

x2+2x+4

x

=x+

4

x

+2≥2

x× 4 x

+2=6，（当且仅当x=2时取得相等），
即函数最小值为6；
（2）f（x）＞0即x+

a

x

+2＞0对任意x∈[1，+∞），恒成立，
即a＞-x（x+2）
a＞-（x+1）²+1，
令g（x）=-（x+1）²+1，
g（x）的最大值为当x=1时取得，为g（1）=-3
所以有a＞-3．

点评：本题考查函数最值问题，用到了基本不等式和恒成立问题的转化求解，属于较经典的题型．