Question

求证：lnx＜

1

2

x²-

1

2

x（x≥2）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：设f（x）=lnx-

1

2

x²+

1

2

x（x≥2），转化为证明当x≥2时，f（x）＜0恒成立，则f′（x）=

1

x

-x+

1

2

，利用导数性质能证明当x≥2时，lnx＜

1

2

x²-

1

2

x成立．

解答： 解：证明：设f（x）=lnx-

1

2

x²+

1

2

x（x≥2），
则f′（x）=

1

x

-x+

1

2

，
∵当x≥2时，f′（x）=

1

x

-x+

1

2

=

-2x2+x+2

2x

＜0，
∴则f（x）在（2，+∞）上单调递减，f（x）≤f（2）=ln2-

1

2

×4+

1

2

×2=ln2-1＜0
∴f（x）＜0，
即lnx-

1

2

x^2₊

1

2

x，
lnx＜

1

2

x²-

1

2

x成立．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．