题目内容
若原点O和点F（-3，0）分别是双曲线
-y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则
•
的取值范围为（ ）
| x2 |
| a2 |
| OP |
| FP |
A、[8+6
| ||
| B、[-3，+∞） | ||
C、[-
| ||
D、[
|
考点：双曲线的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示
•
，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得
•
的取值范围．
| OP |
| FP |
| OP |
| FP |
解答：
解：设P（m，n），则
•
=（m，n）•（m+3，n）=m2+3m+n2．
∵F（-3，0）是双曲线
-y2=1（a＞0）的左焦点，
∴a2+1=9，∴a2=8，
∴双曲线方程为
-y2=1，
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴
-n2=1(m≥2
)，
∴n2=
-1，
∵
•
=（m，n）•（m+3，n）=m2+3m+n2，
∴m2+2m+n2=m2+3m+
-1=
m2+3m-1
∵m≥2
，
∴函数在[2
，+∞）上单调递增，
∴m2+3m+n2≥8+6
，
∴
•
的取值范围为[8+6
，+∞）．
故选：A．
| OP |
| FP |
∵F（-3，0）是双曲线
| x2 |
| a2 |
∴a2+1=9，∴a2=8，
∴双曲线方程为
| x2 |
| 8 |
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴
| m2 |
| 8 |
| 2 |
∴n2=
| m2 |
| 8 |
∵
| OP |
| FP |
∴m2+2m+n2=m2+3m+
| m2 |
| 8 |
| 9 |
| 8 |
∵m≥2
| 2 |
∴函数在[2
| 2 |
∴m2+3m+n2≥8+6
| 2 |
∴
| OP |
| FP |
| 2 |
故选：A．
点评：本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
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相关题目
已知函数f（x）的导函数为f′（x），对?x∈R，f′（x）-f（x）＜0，则对任意正数a有（ ）
A、
| ||
B、
| ||
| C、eaf（a）＞f（0） | ||
| D、eaf（a）＜f（0） |
已知⊙C：x2+y2=9中弦AB的长为3
，则
•
=（ ）
| 2 |
| AB |
| AC |
| A、0 | ||
| B、3 | ||
| C、9 | ||
D、9
|
下列四个函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ）
| A、y=lg|x| | ||
B、y=x
| ||
| C、y=-2x | ||
D、y=-
|
已知P是△ABC所在的平面内一点，AB=4，
+
+
=
，
•
=
•
=
•
，若点D、E分别满足
=-
，
=3
，则
•
=（ ）
| PA |
| PB |
| PC |
| 0 |
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
| DC |
| AC |
| BE |
| EC |
| AP |
| DE |
| A、8 | ||
B、
| ||
C、-4
| ||
| D、-8 |
已知m为一条直线，α、β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
| A、若m∥α，α⊥β，则m⊥β |
| B、若m⊥α，α∥β，则m⊥β |
| C、若m∥α，α∥β，则m∥β |
| D、若m∥α，m∥β，则α∥β |
若复数z满足
=2+i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）
| z+i |
| i |
| A、-1-i | B、1-i |
| C、-1+i | D、1+i |