Question

正项数列{a_n}满足：a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得（a_n-2n）（a_n+1）=0，由a_n＞0，求出a_n=2n．
（2）由b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前项和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，
∴（a_n-2n）（a_n+1）=0
∵a_n＞0，∴a_n=2n．
（2）∵b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，
∴T_n=2•3+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，
3T_n=2•3²+4•3³+6•3⁴+…+2n•3ⁿ⁺¹，
两式相减，得：
-2T_n=6+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-2n•3ⁿ⁺¹
=6+2×

9(1-3n-1)

1-3

-2n•3ⁿ⁺¹
=-（2n-1）•3ⁿ⁺¹-3．
∴T_n=（n-

1

2

）•3ⁿ⁺¹+

3

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．