Question

已知函数y=

1

x2

．
（1）试判断它在（0，+∞）有怎样的单调性；在（-∞，0）呢？
（2）试画出它的图象，并说明有怎样的对称性？

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求y′，判断y′在（0，+∞）和（-∞，0）上的符号，从而判断函数在（0，+∞），（-∞，0）的单调性；
（2）通过列表，描点分别画出函数在（0，+∞），和∞（-∞，0）上的图象，根据图象说明其对称性即可．

解答： 解：（1）y′=-

2

x3

；
∴x∈（0，+∞）时，y′＜0；
∴函数y=

1

x2

在（0，+∞）单调递减；
x∈（-∞，0）时，y′＞0，y=

1

x2

在（-∞，0）上单调递增；
（2）画该函数的图象：
列表：

x	± 1 3	± 1 2	±1	±2	±3
y= 1 x2	9	4	1	1 4	1 9

                                               
根据所画图象看出，图象关于y轴对称．

点评：考查通过判断函数导数符号来判断函数在一区间上的单调性的方法，列表描点画函数图象的方法，图象的对称性．