Question

函数f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）若不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于f（x）=1-

2

2x+1

，当x增大时，

2

2x+1

的值减小，f（x）的值增大，可得函数f（x）在R上是增函数．
（2）根据函数的定义域为R，且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．

解答： 解：（1）∵f（x）=1-

2

2x+1

，当x增大时，

2

2x+1

的值减小，f（x）的值增大，
∴函数f（x）在R上是增函数．
证明：设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1((2x2+1)

，
∵x₁＞x₂，∴2x1＞2x2，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）为增函数．
（2）∵函数的定义域为R，且满足f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
（3）不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0变形为f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）
∵函数f（x）在R上是增函数，
∴1-m＜m²-1，
解得m的求值范围是（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定以及利用奇偶性和单调性解抽象不等式．