题目内容
已知函数f（x）=x+
，
（1）判断函数在区间（0，3]上是增函数还是减函数？并用定义证明你的结论．
（2）求f（x）在区间（0，3]上的值域．
| 9 |
| x |
（1）判断函数在区间（0，3]上是增函数还是减函数？并用定义证明你的结论．
（2）求f（x）在区间（0，3]上的值域．
考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：（1）借助简图判断单调性，定义法证明分五步；（2）由单调性求值域．
解答：
解：（1）函数f（x）=x+
在区间（0，3]上是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈（0，3]，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+
-（x2+
）=
，
∵0＜x1＜x2≤3，
∴x1-x2＜0，x1x2-9＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
则f（x）=x+
在区间（0，3]上是减函数．
（2）∵f（x）=x+
在区间（0，3]上是减函数，
∴f（x）≥f（3）=6，
即f（x）在区间（0，3]上的值域为[6，+∞）．
| 9 |
| x |
任取x1，x2∈（0，3]，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+
| 9 |
| x1 |
| 9 |
| x2 |
| (x1-x2)(x1x2-9) |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2≤3，
∴x1-x2＜0，x1x2-9＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
则f（x）=x+
| 9 |
| x |
（2）∵f（x）=x+
| 9 |
| x |
∴f（x）≥f（3）=6，
即f（x）在区间（0，3]上的值域为[6，+∞）．
点评：本题考查了函数的基本性质，属于基础题．
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