Question

12．下列说法中
①命题“存在x∈R，2^x≤0”的否定是“对任意的x∈R，2^x＞0”；
②y=x|x|既是奇函数又是增函数；
③关于x的不等式a＜sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$恒成立，则a的取值范围是a＜3；
其中正确的个数是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 ①，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论；
②，y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}\\;\\;（x≥0）}\\{-{x}^{2}\\;\\;（x＜0）}\end{array}\right.$，结合图象可判定既是奇函数又是增函数；
③，∵函数y=x+$\frac{2}{x}$在（0，1]上是减函数，所以sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$的最小值为3；

解答 解：对于①，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，故正确；
对于②，y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}\\;\\;（x≥0）}\\{-{x}^{2}\\;\\;（x＜0）}\end{array}\right.$，结合图象可判定既是奇函数又是增函数，故正确；
对于③，∵函数y=x+$\frac{2}{x}$在（0，1]上是减函数，所以sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$的最小值为3，关于x的不等式a＜sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$恒成立，则a的取值范围是a＜3，正确；
故选：A：

点评 本题考查了命题真假的判定，属于中档题．