Question

4．已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=2，S_n为其前n项和，若5S₁，S₃，3S₂成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，记数列{c_n}的前n项和T_n．若${T_n}≤\frac{2014}{2015}$，求整数n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由5S₁，S₃，3S₂成等差数列，可得2S₃=5S₁+3S₂，化简得2q²-q-6=0，解出即可得出．
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n得b_n=n，可得${c_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法可得T_n，进而得出．

解答 解：（Ⅰ）∵5S₁，S₃，3S₂成等差数列，∴2S₃=5S₁+3S₂，…（2分）
即$2（{a_1}+{a_1}q+{a_1}{q^2}）=5{a_1}+3（{a_1}+{a_1}q）$，
化简得2q²-q-6=0，
解得q=2或$q=-\frac{3}{2}$（舍），
∴{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$．…（5分）
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n得b_n=n，∴${c_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$…（8分）
若${T_n}≤\frac{2014}{2015}$，则$\frac{n}{n+1}≤\frac{2014}{2015}$，n≤2014，
∴n_max=2014．…（12分）

点评 本题考查了“裂项求和法”、等比数列的定义通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．