Question

9．已知函数f（x）=（x+a）²e^x+b（a，b∈R）在x=1处取得极小值-1
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）证明：x＞0时，f（x）＞lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，解关于导函数的不等式，求出f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最小值，令g（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出g（x）_max＜f（x）_min，证出结论即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=[x²+2（a+1）x+a²+2a]e^x，
由已知得f′（1）=（a²+4a+3）e^x=0，
解得：a=-1或-3；
a=-3时，f′（x）=（x²-4x+3）e^x，
此时f（x）在x=1处取得极大值，不合题意，
a=-1时，f′（x）=（x²-1）e^x，
此时函数f（x）在x=1处取得极小值，
故a=-1，b=-1；
（Ⅱ）∵x＞0，由（Ⅰ）得函数f（x）在（0，1）递减，f（x）在（1，+∞）递增，
故x＞0时，f（x）_min=f（1）=-1，
令g（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x，由g′（x）=$\frac{1-{3x}^{2}-2x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{3}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{3}$，
故g（x）在（0，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，+∞）递减，
故g（x）max=g（$\frac{1}{3}$）=-ln3-$\frac{5}{6}$，
∵g（x）_max＜f（x）_min，
∴f（x）＞lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．