Question

17．已知函数f（x）=x²-alnx在区间（1，2]内是增函数，g（x）=x-a$\sqrt{x}$在区间（0，1）内是减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）-g（x）=x²-2x+3有唯一解．

Answer 1

分析 （1）问题转化为a≤（2x²）_min=2，a≥（2$\sqrt{x}$）_max=2，求出a的值，从而求出函数的解析式；
（2）f（x）=g（x）+2⇒x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2=0，设h（x）=x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2（x＞0），由函数的单调性能导出方程f（x）=g（x）+2在x＞0时只有唯一解．

解答 解：（1）由题意知：f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-a}{x}$≥0在（1，2）上恒成立⇒a≤（2x²）_min=2，
又g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-a}{2\sqrt{x}}$≤0在（0，1]上恒成立⇒a≥（2$\sqrt{x}$）_max=2，
∴a=2，f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2$\sqrt{x}$．
（2）f（x）=g（x）+2⇒x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2=0，
设h（x）=x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2（x＞0），
则h′（x）=2x-$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1，
x∈（0，1]时，h′（x）＜0，x∈[1，+∞），h′（x）≥0，
解得h（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=0，
即方程f（x）=g（x）+2在x＞0时只有唯一解．

点评 本题考查利用导数判断函数的单调性，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．