Question

20．定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f（-1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＜0则不等式f（x）＜0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＜0等价于x•g（x）＜0，数形结合解不等式组即可

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g（x）的导数为g′（x）=$\frac{xf'（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵当x＞0时总有xf'（x）-f（x）＜0成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$为减函数，
又∵定义在R上的奇函数f（x），
∴g（-x）=g（x）
∴函数g（x）为定义域上的偶函数．
又∵g（1）=0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得
不等式f（x）＜0?x•g（x）＜0，可得不等式f（x）＜0的解集是（-1，0）∪（1，+∞），
故答案为（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．