Question

7．已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|，M为不等式f（x）≤4的解集．
（1）求集合M．
（2）当a，b∈M时，求证$2|{a-b}|≤\sqrt{16-7{a^2}{b^2}}$．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）两边平方，问题转化为证明4a²+4b²-a²b²-16≤0即可，根据a，b的范围证出即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x，x≤-1\\ 2，-1＜x＜1\\ 2x，x≥1\end{array}\right.$，
∵f（x）≤4，
∴x∈（-1，1）恒成立，
当x≤-1时，-2x≤4得x≥-2，
∴-2≤x≤-1，
当x≥1时，2x≤4，得x≤2，
∴1≤x≤2，
综上所述M={x|-2≤x≤2}；
（2）证明：由（1）知：
-2≤a≤2，-2≤b≤2，
要证$2|{a-b}|≤\sqrt{16-7{a^2}{b^2}}$，
只需4（a²-2ab+b²）≤16-7a²b²，
只需4a²+4b²-a²b²-16≤0，
只需（a²-4）（4-b²）≤0（*），
∵0≤a²≤4，0≤b²≤4，
∴（*）恒成立，
则原不等式得证．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．