Question

已知函数f（x）=x²-2x+alnx+1有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）已知函数f（x）=x²-2x+alnx+1有两个极值点x₁，x₂可化为f′（x）=

2x2-2x+a

x

=0有两个不同的正根x₁，x₂，从而解得；再由导数的正负写出函数的单调区间．
（2）由根与系数的关系可得，x₁+x₂=1，x₁x₂=

a

2

，从而a=2x₂（1-x₂），代入化简可得f（x₂）=（x₂-1）²+2x₂（1-x₂）lnx₂，（

1

2

＜x₂＜1），令h（t）=（t-1）²+2t（1-t）lnt，（

1

2

＜t＜1），求导判断函数的单调性，从而证明上式成立．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

2x2-2x+a

x

，
∵函数f（x）=x²-2x+alnx+1有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f′（x）=

2x2-2x+a

x

=0有两个不同的根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴

△=4-8a＞0 1 2 a＞0

解得，0＜a＜

1

2

，
此时，f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；
（2）证明：由（1）知，
x₁+x₂=1，x₁x₂=

a

2

，则a=2x₂（1-x₂），
因此，f（x₂）=（x₂-1）²+alnx₂=（x₂-1）²+2x₂（1-x₂）lnx₂，（

1

2

＜x₂＜1）
令h（t）=（t-1）²+2t（1-t）lnt，（

1

2

＜t＜1）则
h′（t）=2（t-1）+[2（1-2t）lnt+2（1-t）]=2（1-2t）lnt，
∵

1

2

＜t＜1，∴1-2t＜0，lnt＜0，
∴h′（t）＞0，
即h（t）在（

1

2

，1）上单调递增，
则h（t）＞h（

1

2

）=

1-2ln2

4

，
即f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了根与系数的关系，化简比较繁琐，注意要细心，属于难题．