Question

函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（-x），且xf′（x）＜0，设a=f（log₄7），b=f（log 

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3），c=f（2^1.6），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A、c＜a＜b
• B、a＜b＜c
• C、b＜c＜a
• D、c＜b＜a

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据已知条件知，f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上为减函数，所以可考虑将f（x）自变量的值变到区间（0，+∞）上，根据f（x）在（0，+∞）上的单调性比较对应函数值的大小：容易判断出0＜log₄7＜2，-2＜log

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3＜0，0＜-log

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2

3＜2，2^1.6＞2，并且f(log

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3)=f(-log

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3)．所以比较log₄7和-log

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3的大小，可利用换底公式将上面两个对数式都化成以2为底，即可比较这两个对数值的大小，从而比较出log47，-log

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3，21.6的大小关系，根据f（x）在（0，+∞）上的单调性便可判断出a，b，c的大小关系．

解答： 解：解xf′（x）＜0得，x＞0时，f′（x）＜0，x＜0时，f′（x）＞0；
即f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增；
并且该函数为偶函数；
∵-2＜log

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3＜0，0＜log₄7＜2，2^1.6＞2；
f（x）为偶函数，∴f(log

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2

3)=f(-log

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3)，且0＜-log

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3＜2；
∴需比较-log

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3与log₄7的大小：
∵-log

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2

3=-

log23

log2 1 2

=log23，log47=

log27

log24

=log2

7

；
∵3＞

7

；
∴log23＞log2

7

，即-log

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3＞log47；
∴21.6＞-log

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3＞log47＞0；
又函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴f(21.6)＜f(-log

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3)＜log47，即c＜b＜a．
故选D．

点评：考查偶函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及换底公式．