Question

已知函数f（x）=2^x-2^-x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先明确函数的定义域为R，然后利用奇偶函数的定义判断．
（2）根据增函数的定义进行证明．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域是R，
因为f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
所以函数f（x）=2^x-2^-x是奇函数；
（2）设x₁＜x₂，
则f（x₁）=2 x1-2 -x1，f（x₂）=2 x2-2 -x2，
∴f（x₁）-f（x₂）=2 x1-2 -x1-（2 x2-2 -x2）
=(2x1-2x2)(1+

1

2x1+x2

)，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，1+

1

2x1+x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，直接利用定义解决即可．