题目内容
已知函数f（x）=2
sinxcosx-2sin2x+1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
]上的最大值和最小值；
（2）若f（x0）=
，x0∈[
，
]，求cos2x0的值．
| 3 |
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
| π |
| 2 |
（2）若f（x0）=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得函数的最小正周期．
利用x的范围，确定2x+
的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在区间上的最大和最小值．
（2）利用f（x0）=
，x0∈[
，
]，求出cos（2x0+
）=-
，利用两角和与差的三角函数公式求值．
利用x的范围，确定2x+
| π |
| 6 |
（2）利用f（x0）=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
解答：
解：（1）f（x）=2
sinxcosx-2sin2x+1=
sin2x+cos2x=2sin（2x+
），
∴T=
=π．
∵x∈[0，
]，
∴
≤2x+
≤
，
∴当2x+
=
时，即x=
时函数有最大值，最大值为2；
当2x+
=
时，即x=
时，函数有最小值为-1；
（2）f（x0）=
，x0∈[
，
]，
则sin（2x0+
）=
，x0∈[
，
]，2x0+
∈[
，
]，
所以cos（2x0+
）=-
，
cos2x0=cos[（2x0+
）-
]=cos（2x0+
）cos
+sin（2x0+
）sin
=
．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴T=
| 2π |
| 2 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
当2x+
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）f（x0）=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
则sin（2x0+
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
所以cos（2x0+
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
cos2x0=cos[（2x0+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
3-4
| ||
| 10 |
点评：本题考查了三角函数解析式的化简与性质的运用，角的范围以及函数值的符号确定是容易出错的地方．
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已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都满足 f（m+n）=f（m）+f（n）-1，当x＞0时，f（x）＞1，则不等式f（2x-1）+f（
）＜2的解集是（ ）
| 1 |
| x |
A、（-∞，-
| ||
| B、（-∞，0） | ||
| C、（0，+∞） | ||
D、（-∞，-
|