Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设函数f(x)=2sin(

x

2

+

π

6

)cos

x

2

+

1

2

，x∈R，若f（A）=

3

2

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当a=14，b=10时，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式和二倍角的正弦、余弦公式，即可化简f（x），再由f（A）=

3

2

，即可得到A；
（Ⅱ）由余弦定理得到c，再由面积公式，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

+

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1=sin(x+

π

6

)+1；   
由f(A)=

3

2

，得sin(A+

π

6

)=

1

2

，
又

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
则A+

π

6

=

5π

6

，故A=

2π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得：14²=10²+c²-2×10c×cos120°，
即c²+10c-96=0，得c=6，
则S△ABC=

1

2

bcsinA=15

3

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查和差公式和二倍角公式的运用，同时考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．