Question

设函数f（x）=e^x（ax²-x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在R上单调递减，求a的取值范围
（Ⅱ）当a＞0时，求f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系，即可求出a的范围．
（Ⅱ）讨论a的取值范围，再根据导数求函数的单调性，从而可求出函数的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（ax²-x-1），
∴f'（x）=e^x（ax²-x-1）+e^x（2ax-1）=e^x[ax²+（2a-1）x-2]，
①a=0时，显然不满足，
②当a≠0时，f'（x）≤0恒成立，
即a＜0且（2a-1）²+4×2×a≤0，所以a=-

1

2

（Ⅱ）①当

1

a

≥1时，即0＜a≤1，f(|sinx|)min=f(1)=e(a-2)，
②当0＜

1

a

＜1时，即a＞1，f(|sinx|)min=f(

1

a

)=e

1

a

(

1

a

-

1

a

-1)=-e

1

a

．

点评：该题考查函数的求导，是否为二次函数的判断，在解答过程中容易忽略判断二次项的系数，该地方是易错点．