Question

设函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为

2π

3

．
（Ⅰ）求ω的值；       
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的值域；
（Ⅲ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移

π

2

个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，化简函数解析式，然后，根据周期公式确定ω的值；
（Ⅱ）结合正弦函数的性质进行求解；
（Ⅲ）根据平移，得到g（x）=

2

sin[3（x-

π

2

）+

π

4

]+2=

2

sin（3x-

5π

4

）+2，然后，根据正弦函数的图象进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx
=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+cos2ωx…（2分）
=sin2ωx+cos2ωx+2
=

2

sin（2ωx+

π

4

）+2，
依题意得

2π

2ω

=

2π

3

，
故ω的值为

3

2

．       …（5分）
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，
∴-

π

4

≤3x+

π

4

≤

5π

4

，…（6分
∴-1≤

2

sin(3x+

π

4

)≤

2

…（8分），
∴1≤f(x)≤2+

2

，
即f（x）的值域为[1，2+

2

]…（9分）
（Ⅲ）依题意得：g（x）=

2

sin[3（x-

π

2

）+

π

4

]+2
=

2

sin（3x-

5π

4

）+2    …（11分）
由2kπ-

π

2

≤3x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，…（12分）
解得

2

3

kπ+

π

4

≤x≤

2

3

kπ+

7π

12

，k∈Z，
故y=g（x）的单调增区间为：[

2

3

kπ+

π

4

，

2

3

kπ+

7π

12

]，（k∈Z），…（13分）

点评：本题重点考查了三角恒等变公式的应用．换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题，解题关键是准确理解三角函数的图象与性质．