Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=

3an-2

an

，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{

an-1

an-2

}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an-2

-n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出数列{

an-1

an-2

}是以2为首项2为公比的等比数列，由此能求出an=

2n+1-1

2n-1

．
（Ⅱ）由bn=

1

an-2

-n=2n-(n+1)，能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：

an+1-1

an+1-2

•

an-2

an-1

=

3an-2 an -1

3an-2 an -2

•

an-2

an-1

=

2an-2

an-2

•

an-2

an-1

=2，
又∵

a1-1

a1-2

=2，
∴数列{

an-1

an-2

}是以2为首项2为公比的等比数列，
∴

an-1

an-2

=2n，
∴an=

2n+1-1

2n-1

．
（Ⅱ）∵bn=

1

an-2

-n=2n-(n+1)，
∴Sn=2n+1-2-

n2+3n

2

（n∈N^*）．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．