Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上不同的三点，A（3

2

，

3 2

2

），B（-3，-3），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明

OM

•

ON

为定值并求出该定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将A，B坐标代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；
（2）设点C（m，n）（m＜0，n＜0），则BC中点为（

m-3

2

，

n-3

2

），求得直线OA的方程，利用点C在椭圆上，即可求点C的坐标；
（3）求出M，N的纵坐标，利用点C在椭圆上，结合向量的数量积公式，即可求得结论．

解答： （1）解：由已知，得

18 a2 + 9 2 b2 =1 9 a2 + 9 b2 =1

，解得

a2=27 b2= 27 2

         …（2分）
∴椭圆的标准方程为

x2

27

+

y2

27 2

=1．                           …（3分）
（2）解：设点C（m，n）（m＜0，n＜0），则BC中点为（

m-3

2

，

n-3

2

）．
由已知，求得直线OA的方程为x-2y=0，从而m=2n-3．①
又∵点C在椭圆上，∴m²+2n²=27．②
由①②，解得n=3（舍），n=-1，从而m=-5．                …（5分）
∴点C的坐标为（-5，-1）．                                  …（6分）
（3）证明：设P（x₀，y₀），M（2y₁，y₁），N（2y₂，y₂）．
∵P，B，M三点共线，∴

y1+3

2y1+3

=

y0+3

x0+3

，整理，得y₁=

3(y0-x0)

x0-2y0-3

．…（8分）
∵P，C，N三点共线，∴

y2+1

2y2+5

=

y0+1

x0+5

，整理，得y2=

5y0-x0

x0-2y0+3

．…（10分）
∵点C在椭圆上，∴x02+2y02=27，∴x02=27-2y02．
从而y₁y₂=

3(3y02-6x0y0+27)

2y02-4x0y0+18

=3×

3

2

=

9

2

．   …（14分）
∴

OM

•

ON

=5y₁y₂=

45

2

．                                    …（15分）
∴

OM

•

ON

为定值，定值为

45

2

．                                 …（16分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．