Question

已知集合A={x|2x²-5x+2≤0}，集合B={x|y=log₂（ax²-2x+2）}
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若B=R，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：子集与交集、并集运算的转换,对数函数的定义域

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（Ⅰ）根据不等式的解法即可求集合A；
（Ⅱ）若B=R，利用对数函数成立的条件，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩B≠∅，得到集合B的取值情况，求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵A={x|2x²-5x+2≤0}={x|

1

2

≤x≤2}，
∴A={x|

1

2

≤x≤2}．
（Ⅱ）B=R，则ax²-2x+2＞0恒成立，
若a=0，则不满足条件，
若a≠0，则

a＞0 △=4-8a＜0

，即a＞

1

2

，
∴实数a的取值范围是{a|a＞

1

2

}．
（Ⅲ）若A∩B≠∅，则在[

1

2

，2]内，至少有一个值，使ax²-2x+2＞0成立，
即在[

1

2

，2]内，至少有一个值使a＞

-2

x2

+

2

x

成立，
设u=-

2

x2

+

2

x

=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

则当x∈[

1

2

，2]时，u∈[-4，

1

2

]，
∴a＞-4，
即a的取值范围是{a|a＞-4}．

点评：本题主要考查集合的基本应用，利用不等式的解法求出集合A，B是解决本题的关键．