Question

已知圆C的方程：（x-2）²+y²=16，点A（4，2），过点A作一条直线与圆C交于M、N两点，求MN中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：根据已知圆的方程，求出圆心坐标及半径，设设MN中点为P（x，y）．则CP⊥MN．利用两垂直线斜率直间的关系即可得到

y

x-2

•

y-2

x-4

=-1．进而求出MN中点的轨迹方程．

解答： 解；由圆C的方程：（x-2）²+y²=16，得
圆心C（2，0），半径r=4．
设MN中点为P（x，y）．
则CP⊥MN．
又∵kCP=

y

x-2

，kMN=

y-2

x-4

．
∴k_CP•k_MN=-1．
即

y

x-2

•

y-2

x-4

=-1．
化简得
x²+y²-6x-2y+8=0．
即（x-3）²+（y-1）²=2．
∴MN中点的轨迹方程为即（x-3）²+（y-1）²=2．

点评：本题考查直线垂直时的斜率关系以及直线与圆相交的性质，属于中档题．