Question

已知点A（-1，0），F（1，0），动点P满足

AP

•

AF

=2|

FP

|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）在直线l：y=2x+2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N．问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出P的坐标，利用动点P满足

AP

•

AF

=2|

FP

|，建立方程，化简可得结论；
（2）求出过点M、N的切线方程，可得直线MN的方程，利用MN∥l，可求点Q的坐标．

解答： 解：（1）设P（x，y），则
∵点A（-1，0），F（1，0），动点P满足

AP

•

AF

=2|

FP

|，
∴（x+1，y）•（2，0）=2

(x-1)2+y2

，
∴2（x+1）=2

(x-1)2+y2

，
∴y²=4x；
（2）直线l方程为y=2（x+1），设Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
过点M的切线方程设为x-x₁=m（y-y₁），代入y²=4x，
得y2-4my+4my1-y12=0，
由△=16m2-16my1+4y12=0，得m=

y1

2

，
所以过点M的切线方程为y₁y=2（x+x₁），
同理过点N的切线方程为y₂y=2（x+x₂）．
所以直线MN的方程为y₀y=2（x₀+x），
又MN∥l，所以

2

y0

=2，得y₀=1，
而y₀=2（x₀+1），
故点Q的坐标为（-

1

2

，1）．

点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的切线，考查学生分析解决问题的能力，求出直线MN的方程是关键．